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代數數論由初等數論起源，經歐拉、高斯、費迪南·艾森斯坦和希爾伯特的努力成為一個數論分支，最終在本世紀得到全麵的發展。

1900年，大數學家希爾伯特在第二屆世界數學家大會（巴黎）上提出了23個數學問題。對於其中4個代數數論問題的研究在很大程度上促進了20世紀代數數論的進步。

這個時期，代數數論研究出現了許多新思想和新方法（就我所知的包括賦值和區域性域理論、區域性整體原則、padic分析、幾何和解析方法的引進等），與代數幾何、複分析、近世代數等結合在一起，產生了一係列重要的研究領域【類域論、模形式理論、代數曲線（特彆是橢圓曲線）的算術理論、分圓域近代理論等】。

1973年，德林（PDeligne）證明瞭高維韋依猜想，推動了算術幾何的發展，這項工作使他獲得了1978年的菲爾茲獎（數學領域的最高獎，即數學界的菲爾茲獎，該獎項有年齡【頒獎當年必須在40週歲以下】和同屆獲獎人數【一般不超過四人】的特殊限製）。

在此之後，我有幸獨自於1980年下半年的短短數月期間，證明瞭具有超過三個世紀曆史的費馬猜想。但我必須說明的是，這是藉助於現代代數數論諸多方麵的最新成就。

有關的三篇論文的中文版將會以附錄的形式出現在本書的末尾（見本書的附錄2、附錄3、附錄4），以便使用現代標準漢語的普通讀者更好地瞭解我所做的工作。

代數數論在20世紀後期不僅取得豐富的理論成果，而且在計算機科學和資訊工程領域得到重要應用。中國代數數論發展受國內政治影響一直冇能成氣候。華羅庚先生早年曾佈局讓陸洪文先生、裴定一先生、馮克勤先生等專家學者投入到這一領域的研究中，最終纔有幸獲得了一個現已被公認為菲爾茲獎級彆的成果。雖然暫不確定，但截至我寫下這段前言時，該成果的水平已在國際數學界得到了廣泛的高度認可，因此，於我而言，我“顯然”可以得到一個有趣的結論：即使我因為各種原因冇有得到菲爾茲獎，也至少可以證明這絕不是費馬猜想或者是我個人的問題。

此外，代數數論近年不僅在數學各分支體現著綜合，而且在理論物理中也有著人們意想不到的奇妙聯絡。如：馬克斯·普朗克遵循許多前輩物理學家的理論和實驗工作經驗，曆經數年的深入研究之後，於1900年寫出了他的有關黑體輻射的能量分佈公式，這標誌著量子理論的起始。但似乎冇有人注意到，普朗克公式在低頻率（或者高溫度）的延拓可以得出伯努利數——雅各·伯努利（1654～1705）在概率理論中引進了以他自己名字命名的伯努利數。

在19世紀，這些概念與代數數論的基礎——模型式聯絡了起來。這些模形式在傅裡葉級數展開式中的整係數，在數論當中起著重要的作用，它們以重數的形式出現在對統計力學的闡釋之中。

值得慶幸的是，數論在本世紀的中國是主流數學，我的妹妹也受此影響，在跟隨巴黎第六大學的阿蘭·孔涅教授進行研究和學習之餘，也開始對數論有些興趣。

前些日子，我的妹妹夏雯莉給我打電話的過程中，表示自己難以理解我在數論方麵的微小成果，於是我決定在為希羽組研究所創收而創作科幻小說《黎明之劍》係列的後兩部之餘，為她以及和她一樣的無數大中學生以及有足夠的初等數學基礎的數學愛好者編寫一本與代數數論有關的書籍——雖然主攻模糊數學及其有關學科的我也隻是一個門外漢，最多算半個數論學家，但我卻覺得由一個外行來寫這樣的書最為合適。

雖然我對代數數論冇有太多瞭解，但我在完成費馬猜想的證明後，確信了代數數論最經典、最基本的概念、方法和結論對學習數學的人來說是十分重要的，這些內容應當構成大學數學係的一門必修課程。

數學的概念與方法愈來愈抽象化與一般化，大概是它本身發展中不可避免的現象。高觀點、抽象地講述數學對專家來說可能是一件十分方便的事情，但給初學者帶來很大的困難，而且對今後數學的發展可能並不是一件好事。

本書在初等數論的基礎與觀點之上，以儘可能少的抽象代數概念與方法，來具體地介紹代數數論中最經典、最基本、因而也是最初等的內容，所以本書取名為《初等代數數論入門》。但這些內容正是代數數論發展起來的源泉，限於篇幅，本書冇有討論二元二次型的算術理論，儘管它也是代數數論開始發展起來的一個方麵。

一個新概念或新方法，隻有當它能解決已有的概念、方法所不能解決（或解決起來很複雜）的問題，顯示出它的優越性時，才能證明引進它是必要的，併爲人們所真正接受。因此，我們應該知道從原有的（一般說來是較初等的）概念與方法能得到些什麼結論，和怎樣得到這些結論的。這也有助於對新概念與新方法的理解和掌握。此外，我們認為計算是重要的，這不僅對應用數學是這樣，對基礎數學也是如此。這些也是我寫本書時所遵循的想法。

從本書的前麵五章中，可以看到初等數論的內容是如何推廣到所謂“二次代數整數環”——除有理整數環外最簡單的代數整數環——上去，以及這種推廣是如何有助於解決初等數論中的一些困難問題。學習這五章可對代數數論要研究的對象、基本內容有一個極初步的瞭解，這些內容對隻想稍為知道一些代數數論知識的人，可能是足夠了。

此後的三章分彆展現了國內外代數數論及其有關學科的最新進展。這三章的內容絕對不隻是由我一個人完成——我在這三章的首頁列出了有關同誌們的具體貢獻。他們並非是數論領域的愛好者，多數甚至冇有數學專業的背景，有些甚至和我一樣冇有本科學曆和學士學位，但並不耽誤他們憑藉自己的專業知識和不同本領在這些內容中做出了直接的貢獻。至於間接貢獻者就更多了，但限於篇幅和實際貢獻情況，故隻列出直接貢獻者的有關資訊。

根據在希羽組內部推廣閱讀的反饋，筆者認為本書所需要的預備知識是：

初等數論（為方便起見，在第2章中不加證明地列出了它的主要內容）、高等代數中的多項式理論、線性代數知識。僅在極個彆的地方用到了一些微積分。各章配有數量不等的習題。

包括華羅庚先生在內的多位有關領域的國內外專家仔細瞭解了我們寫這本書的想法和審閱了書稿（依據各位國內外專家的母語，分彆交付了中、英、法、日四語中的一個版本），提出了寶貴的指導意見與許多具體修改意見。按照他們的意見，我逐一作了相應的修改、說明。對此我們表示衷心的感謝！此處不多做贅述——在附錄1中對有關同誌對本書的不同支援做出如實記載，並記載了他們的生平經曆及經過希羽組研究所證實的個人資料。

本書的寫作由我個人財產提供經濟上的支援，與創作期間的個人生活開銷一樣，所有出版環節產生的費用均冇有接受其他個人、希羽組研究所及其他機構、組織或國家的任何經濟上的直接和間接幫助。

在各語言版本的出版、發行的過程中，我國的商務印書館、美國的哈佛大學出版社、高盧國的巴黎第六大學出版社、櫻國的有斐閣分彆對本書的中、英、法、日四語版本的出版給予了大力支援。

由於我本人的研究範圍十分狹窄，對代數數論也知之甚少，本書實質上是我在研究費馬猜想前後進行短期學習體會的一點總結，缺點、錯誤在所難免，請大家指正。

夏希羽

寫於一九八二年六月一日清晨

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